Evaluate the expression: \(\frac{\sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt{162}}{\sqrt{32}}\)

Привет! Давай разберемся с этим математическим выражением. Это задача из области алгебры, и она подойдет для учеников старших классов.

Задание: Вычислить значение выражения

• \[ \frac{\sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt{162}}{\sqrt{32}} \]

Решение:

1. Упрощаем числитель:

   Сначала посмотрим на первый множитель в числителе: $$\sqrt[3]{4^3}$$. Корень третьей степени и куб взаимно уничтожаются, поэтому:

   • \[ \sqrt[3]{4^3} = 4 \]

   Теперь второй множитель: $$\sqrt{162}$$. Разложим число 162 на простые множители, чтобы извлечь квадратный корень:

   • \[ 162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 9^2 \]

   Тогда:

   • \[ \sqrt{162} = \sqrt{2 \cdot 9^2} = 9\sqrt{2} \]

   Итак, числитель равен:

   • \[ 4 \cdot 9\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \]
2. Упрощаем знаменатель:

   Теперь займемся знаменателем: $$\sqrt{32}$$. Разложим 32 на простые множители:

   • \[ 32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 4^2 \]

   Тогда:

   • \[ \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 4^2} = 4\sqrt{2} \]
3. Объединяем числитель и знаменатель:

   Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

   • \[ \frac{36\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \]

   Мы видим, что $$\sqrt{2}$$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому они сокращаются. Остается:

   • \[ \frac{36}{4} \]
4. Финальный расчет:

   Выполним деление:

   • \[ \frac{36}{4} = 9 \]

Ответ:

Ответ: 9