Evaluate the expression \(\frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy}\) when \(x = -0.2\) and \(y = -0.6\).

Решение:

Сначала упростим выражение:

Числитель: \( x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 \) (полный квадрат суммы).

Знаменатель: \( 4x^2 + 12xy = 4x(x + 3y) \).

Теперь подставим упрощённые выражения:

\[ \frac{(x + 3y)^2}{4x(x + 3y)} \]

Сократим \( (x + 3y) \) (при условии \( x + 3y \neq 0 \)):

\[ \frac{x + 3y}{4x} \]

Теперь подставим заданные значения \( x = -0.2 \) и \( y = -0.6 \):

В числителе: \( x + 3y = -0.2 + 3(-0.6) = -0.2 - 1.8 = -2.0 \).

В знаменателе: \( 4x = 4(-0.2) = -0.8 \).

Подставляем полученные значения в упрощённое выражение:

\[ \frac{-2.0}{-0.8} \]

Выполним деление:

\[ \frac{-2.0}{-0.8} = \frac{2.0}{0.8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Проверим условие \( x + 3y \neq 0 \): \( -0.2 + 3(-0.6) = -0.2 - 1.8 = -2 \). Условие выполняется.

Ответ: 2.5