Evaluate the expression $$\frac{x^3y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2}$$ when $$x=4$$ and $$y=\frac{1}{4}$$.

Краткая запись:

• Выражение: $$ E = \frac{x^3y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2-y^2} $$
• Дано: $$ x=4 $$, $$ y=\frac{1}{4} $$
• Найти: $$ E $$

Пошаговое решение:

1. Упрощение выражения:
   • Числитель первой дроби: $$ x^3y - xy^3 = xy(x^2 - y^2) $$
   • Знаменатель первой дроби: $$ 2(y-x) = -2(x-y) $$
   • Знаменатель второй дроби: $$ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $$
   • Подставляем упрощенные части в исходное выражение:
2. Сокращение дробей:
   • $$ E = \frac{xy(x^2 - y^2)}{-2(x-y)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} $$
   • $$ E = \frac{xy(x-y)(x+y)}{-2(x-y)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} $$
   • Сокращаем общие множители:
   • $$ E = \frac{xy}{-2} \cdot \frac{3}{(x+y)} $$
   • $$ E = -\frac{3xy}{2(x+y)} $$
3. Подстановка значений:
   • $$ x=4 $$, $$ y=\frac{1}{4} $$
   • $$ x+y = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4} $$
   • $$ xy = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 $$
   • $$ E = -\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot \frac{17}{4}} $$
   • $$ E = -\frac{3}{\frac{17}{2}} $$
   • $$ E = -3 \cdot \frac{2}{17} $$
   • $$ E = -\frac{6}{17} $$

Ответ: $$-\frac{6}{17}$$