Evaluate the following integrals: a) $$\int_1^3 x^3 dx$$ b) $$\int_0^4 (x^2 - 2x + 1) dx$$ c) $$\int_{-4/3}^{4/3} (3x^3 + 4x) dx$$ d) $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos x dx$$

Решение:

1. a) $$\int_1^3 x^3 dx$$

   Используем формулу для интегрирования степенной функции: $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$.

   $$\int_1^3 x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^3 = \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$$

2. b) $$\int_0^4 (x^2 - 2x + 1) dx$$

   Интегрируем каждый член отдельно:

   $$\int_0^4 (x^2 - 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_0^4 = (\frac{4^3}{3} - 4^2 + 4) - (\frac{0^3}{3} - 0^2 + 0) = \frac{64}{3} - 16 + 4 = \frac{64}{3} - 12 = \frac{64 - 36}{3} = \frac{28}{3}$$

3. c) $$\int_{-4/3}^{4/3} (3x^3 + 4x) dx$$

   Заметим, что подынтегральная функция $$f(x) = 3x^3 + 4x$$ является нечетной, так как $$f(-x) = 3(-x)^3 + 4(-x) = -3x^3 - 4x = -(3x^3 + 4x) = -f(x)$$. Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю.

   $$\int_{-4/3}^{4/3} (3x^3 + 4x) dx = 0$$

4. d) $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos x dx$$

   Используем формулу для интегрирования косинуса: $$\int \cos x dx = \sin x + C$$.

   $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos x dx = [\sin x]_{\pi/6}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{6}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Ответ: a) 20, b) $$\frac{28}{3}$$, c) 0, d) $$\frac{1}{2}$$.