Evaluate the integral: \(\int_{-2}^{2} (x^3\cos{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}) \sqrt{4-x^2} dx\)

Решение:

Подынтегральная функция: \( f(x) = \left(x^3\cos{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}\right) \sqrt{4-x^2} \)

Рассмотрим два слагаемых подынтегральной функции отдельно:

1. Первое слагаемое: \( f_1(x) = x^3\cos{\frac{x}{2}} \sqrt{4-x^2} \)
• Функция \( x^3 \) — нечетная, так как \( (-x)^3 = -x^3 \).
• Функция \( \cos{\frac{x}{2}} \) — четная, так как \( \cos{\frac{-x}{2}} = \cos{\frac{x}{2}} \).
• Функция \( \sqrt{4-x^2} \) — четная, так как \( \sqrt{4-(-x)^2} = \sqrt{4-x^2} \).
• Произведение нечетной функции и двух четных функций является нечетной функцией: \( f_1(-x) = (-x)^3\cos{\frac{-x}{2}} \sqrt{4-(-x)^2} = -x^3\cos{\frac{x}{2}} \sqrt{4-x^2} = -f_1(x) \).
• Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу \( [-a, a] \) равен нулю: \( \int_{-2}^{2} x^3\cos{\frac{x}{2}} \sqrt{4-x^2} dx = 0 \).
2. Второе слагаемое: \( f_2(x) = \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} \)
• Интеграл от этого слагаемого равен: \( \int_{-2}^{2} \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} dx \).
• Вынесем константу \( \frac{1}{2} \) за знак интеграла: \( \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx \).
• Интеграл \( \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx \) геометрически представляет собой площадь полукруга радиусом 2. Площадь круга \( \pi r^2 \), площадь полукруга \( \frac{1}{2} \pi r^2 \).
• Здесь \( r = 2 \), поэтому площадь равна \( \frac{1}{2} \pi (2)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 4 = 2\pi \).
• Следовательно, \( \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi \).

Складываем результаты двух частей:

\( \int_{-2}^{2} f(x) dx = \int_{-2}^{2} f_1(x) dx + \int_{-2}^{2} f_2(x) dx = 0 + \pi = \pi \).

Ответ: \( \pi \).