Evaluate the limit: lim_{x->inf} 2x^2 sin(1/x)

Привет! Давай разберем этот предел по шагам.

Нам нужно найти:

\[ \lim_{x \to \infty} 2x^2 \sin \left( \frac{1}{x} \right) \]

Когда x стремится к бесконечности, 1/x стремится к нулю. Мы знаем, что для малых углов α, sin(α) примерно равен α.

В нашем случае, α = 1/x. Поэтому, при x → ∞, sin(1/x) ≈ 1/x.

Подставим это приближение в наш предел:

\[ \lim_{x \to \infty} 2x^2 \left( \frac{1}{x} \right) \]

Теперь упростим выражение:

\[ \lim_{x \to \infty} 2x^2 \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} 2x \]

Когда x стремится к бесконечности, 2x также стремится к бесконечности.

Ответ: ∞