Ежик неделю снимал игрушки с новогодней ёлки. В понедельник он снял 1 игрушку, а дальше каждый день снимал столько игрушек, сколько уже снял за все предыдущие дни. В воскресенье он снял последние игрушки. Сколько игрушек было на ёлке?

Решение:

Обозначим количество игрушек, снятых в каждый день:

• Понедельник (Пн): 1 игрушка.
• Вторник (Вт): за предыдущие дни снято 1 игрушка, значит, во вторник снял 1 игрушку. Всего снято: 1 + 1 = 2 игрушки.
• Среда (Ср): за предыдущие дни снято 2 игрушки, значит, в среду снял 2 игрушки. Всего снято: 2 + 2 = 4 игрушки.
• Четверг (Чт): за предыдущие дни снято 4 игрушки, значит, в четверг снял 4 игрушки. Всего снято: 4 + 4 = 8 игрушек.
• Пятница (Пт): за предыдущие дни снято 8 игрушек, значит, в пятницу снял 8 игрушек. Всего снято: 8 + 8 = 16 игрушек.
• Суббота (Сб): за предыдущие дни снято 16 игрушек, значит, в субботу снял 16 игрушек. Всего снято: 16 + 16 = 32 игрушки.
• Воскресенье (Вс): за предыдущие дни снято 32 игрушки, значит, в воскресенье снял 32 игрушки.

Общее количество игрушек на ёлке — это сумма игрушек, снятых за все дни.

Общее количество = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64 игрушки.

Можно заметить, что количество игрушек, снятых каждый день (кроме понедельника), удваивается: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Это геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна \( S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \).

В нашем случае, если считать с понедельника, у нас 7 дней. Но первый день (1 игрушка) — это начальное условие. Количество снятого с вторника по воскресенье: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32. Это сумма 6 членов геометрической прогрессии.

\( S_6 = 1 \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = \frac{64 - 1}{1} = 63 \).

Итого: 1 (в понедельник) + 63 = 64 игрушки.

Ответ: На ёлке было 64 игрушки.