F is the point (1, −4), \(\overrightarrow{FG}=\begin{pmatrix}8\\-3\end{pmatrix}\) and \(\overrightarrow{GH}=\begin{pmatrix}-12\\35\end{pmatrix}\). Find: (a) \(3\overrightarrow{FG}\); (b) \(\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH}\); (c) the coordinates of the point G; (d) the magnitude of vector \(\overrightarrow{GH}\).

Перевод задания: Точка F имеет координаты (1, −4), \(\overrightarrow{FG}=\begin{pmatrix}8\\-3\end{pmatrix}\), а \(\overrightarrow{GH}=\begin{pmatrix}-12\\35\end{pmatrix}\). Найдите: (a) \(3\overrightarrow{FG}\); (b) \(\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH}\); (c) координаты точки G; (d) длину вектора \(\overrightarrow{GH}\).

Working (Решение)

1. (a) Multiply each component of \(\overrightarrow{FG}\) by 3: \(3\begin{pmatrix}8\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24\\-9\end{pmatrix}\).
   (a) Умножаем каждую координату \(\overrightarrow{FG}\) на 3: \(3\begin{pmatrix}8\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24\\-9\end{pmatrix}\).
2. (b) Add corresponding components: \(\begin{pmatrix}8\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-12\\35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\32\end{pmatrix}\).
   (b) Складываем соответствующие координаты векторов: \(\begin{pmatrix}8\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-12\\35\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\32\end{pmatrix}\).
3. (c) Since \(\overrightarrow{FG}=G-F\), add the vector components to the coordinates of F: \(G=(1+8,\,-4-3)=(9,-7)\).
   (c) Так как \(\overrightarrow{FG}=G-F\), прибавляем координаты вектора к координатам F: \(G=(1+8,\,-4-3)=(9,-7)\).
4. (d) Find the magnitude using the Pythagorean formula: \(|\overrightarrow{GH}|=\sqrt{(-12)^2+35^2}=\sqrt{1369}=37\).
   (d) Находим длину по теореме Пифагора: \(|\overrightarrow{GH}|=\sqrt{(-12)^2+35^2}=\sqrt{1369}=37\).

Answers (Ответы): (a) \(\begin{pmatrix}24\\-9\end{pmatrix}\); (b) \(\begin{pmatrix}-4\\32\end{pmatrix}\); (c) \(G=(9,-7)\); (d) 37.