11.133. f (x) = x + cos²x, 0; 11.134. f (x) = x²e²ˣ, [-2; 1]. 2 11.135. f (x) = cos²x + sin x, 0; [0 11.136. f (x) = 2x² - lnx, [1; e]. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции

Для решения задачи необходимо найти наименьшее и наибольшее значение каждой функции на заданном отрезке. Это делается путем нахождения производной функции, нахождения критических точек (где производная равна нулю или не существует), а также вычисления значений функции в критических точках и на концах отрезка. Затем выбираются наименьшее и наибольшее из этих значений.

1. 11.133. f (x) = x + cos²x, [0; π/2]

   Производная: f'(x) = 1 - 2cos(x)sin(x) = 1 - sin(2x)

   Критические точки: 1 - sin(2x) = 0 => sin(2x) = 1 => 2x = π/2 => x = π/4

   Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   • f(0) = 0 + cos²(0) = 0 + 1 = 1
   • f(π/2) = π/2 + cos²(π/2) = π/2 + 0 = π/2 ≈ 1.57
   • f(π/4) = π/4 + cos²(π/4) = π/4 + (√2/2)² = π/4 + 1/2 ≈ 0.785 + 0.5 = 1.285

   Наименьшее значение: 1

   Наибольшее значение: π/2

2. 11.134. f (x) = x²e²ˣ, [-2; 1]

   Производная: f'(x) = 2xe²ˣ + 2x²e²ˣ = 2xe²ˣ(1 + x)

   Критические точки: 2xe²ˣ(1 + x) = 0 => x = 0, x = -1

   Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

   • f(-2) = (-2)²e^(2*(-2)) = 4e^(-4) ≈ 4 * 0.0183 = 0.0732
   • f(1) = 1²e^(2*1) = e² ≈ 7.389
   • f(0) = 0²e^(2*0) = 0
   • f(-1) = (-1)²e^(2*(-1)) = e^(-2) ≈ 0.135

   Наименьшее значение: 0

   Наибольшее значение: e²

3. 11.135. f (x) = cos²x + sin x, [0; π/4]

   Производная: f'(x) = -2cos(x)sin(x) + cos(x) = cos(x)(1 - 2sin(x))

   Критические точки: cos(x)(1 - 2sin(x)) = 0 => cos(x) = 0 или sin(x) = 1/2

   cos(x) = 0 => x = π/2 (не входит в отрезок [0; π/4])

   sin(x) = 1/2 => x = π/6

   Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   • f(0) = cos²(0) + sin(0) = 1 + 0 = 1
   • f(π/4) = cos²(π/4) + sin(π/4) = (√2/2)² + √2/2 = 1/2 + √2/2 ≈ 0.5 + 0.707 = 1.207
   • f(π/6) = cos²(π/6) + sin(π/6) = (√3/2)² + 1/2 = 3/4 + 1/2 = 5/4 = 1.25

   Наименьшее значение: 1

   Наибольшее значение: 5/4

4. 11.136. f (x) = 2x² - ln x, [1; e]

   Производная: f'(x) = 4x - 1/x

   Критические точки: 4x - 1/x = 0 => 4x² = 1 => x² = 1/4 => x = ±1/2

   x = 1/2 не входит в отрезок [1; e]

   Вычислим значения функции на концах отрезка:

   • f(1) = 2(1)² - ln(1) = 2 - 0 = 2
   • f(e) = 2(e)² - ln(e) = 2e² - 1 ≈ 2 * 7.389 - 1 = 14.778 - 1 = 13.778

   Наименьшее значение: 2

   Наибольшее значение: 2e² - 1

Ответ: См. решение выше.