f(x) = \(\frac{2}{3}\) \(\sqrt[3]{x}\) + \(\frac{x}{3}\)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{2}{3} \sqrt[3]{x} + \frac{x}{3} \) воспользуемся правилами дифференцирования.

1. Преобразуем корень кубический в степень: \( \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \).
2. Таким образом, функция выглядит так: \( f(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} x \).
3. Найдем производную от каждого слагаемого отдельно:

• Производная от \( \frac{2}{3} x^{\frac{1}{3}} \): \( \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{3} x^{\frac{1}{3}} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2}{9} x^{-\frac{2}{3}} \).
• Производная от \( \frac{1}{3} x \): \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} x \right) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \).

Сложим производные:

\[ f'(x) = \frac{2}{9} x^{-\frac{2}{3}} + \frac{1}{3} \]

Перепишем отрицательную степень и преобразуем:

\[ f'(x) = \frac{2}{9 \sqrt[3]{x^2}} + \frac{1}{3} \]

Ответ: \( f'(x) = \frac{2}{9 \sqrt[3]{x^2}} + \frac{1}{3} \).