f(x) = x - cosx 3. Гункцияным осуу, кемуц аралыктарын тапкыла. g(x) = 4-x4

Решение:

Для функции \( f(x) = x - \cos x \), найдем ее производную, чтобы определить точки экстремума.

1. Найдем первую производную \( f'(x) \):
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x - \cos x) = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 1 + \sin x = 0 \)
   \( \sin x = -1 \)
   \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
3. Проверим знак второй производной, чтобы определить тип экстремума. Найдем вторую производную \( f''(x) \):
   \( f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + \sin x) = \cos x \)
4. Подставим критические точки во вторую производную:
   При \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \), \( \cos x = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = 0 \).
5. Так как вторая производная равна нулю в критических точках, необходимо использовать признаки монотонности. Первая производная \( f'(x) = 1 + \sin x \) всегда больше или равна нулю (так как \( \sin x \ge -1 \), то \( 1 + \sin x \ge 0 \)). Это означает, что функция \( f(x) \) является не убывающей.

Вывод: Функция \( f(x) = x - \cos x \) является не убывающей на всей области определения, и у нее нет локальных максимумов и минимумов.

Для функции \( g(x) = 4 - x^4 \), найдем ее производную.

1. Найдем первую производную \( g'(x) \):
   \( g'(x) = \frac{d}{dx}(4 - x^4) = 0 - 4x^3 = -4x^3 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -4x^3 = 0 \)
   \( x^3 = 0 \)
   \( x = 0 \)
3. Определим знак производной слева и справа от критической точки \( x = 0 \).
   Если \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)), то \( g'(-1) = -4(-1)^3 = -4(-1) = 4 > 0 \). Функция возрастает.
4. Если \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)), то \( g'(1) = -4(1)^3 = -4 < 0 \). Функция убывает.
5. Так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через \( x = 0 \), то в точке \( x = 0 \) функция имеет локальный максимум.
6. Найдем значение функции в точке максимума:
   \( g(0) = 4 - (0)^4 = 4 \)

Вывод: Функция \( g(x) = 4 - x^4 \) имеет локальный максимум в точке \( x = 0 \), значение максимума равно 4.

Ответ: Функция \( f(x) = x - \cos x \) является не убывающей и не имеет локальных экстремумов. Функция \( g(x) = 4 - x^4 \) имеет локальный максимум в точке \( x = 0 \), равный 4.