ФГБОУ ВО "ХАУ", Математика. Итоговый тест, 1 курс, 2 семестр. Найдите производную функции: y = x * cosx

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = x \cdot \cos x \) используем правило производной произведения, которое гласит: \( (uv)' = u'v + uv' \).

В данном случае:

• \( u = x \)
• \( v = \cos x \)

Найдем производные от \( u \) и \( v \):

• \( u' = \frac{d}{dx}(x) = 1 \)
• \( v' = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)

Теперь подставим эти значения в формулу производной произведения:

\[ y' = (1) \cdot (\cos x) + (x) \cdot (-\sin x) \]\[ y' = \cos x - x \sin x \]

Проверка вариантов ответа:

• sinx — Неверно.
• cosx+sinx — Неверно.
• cosx-sinx — Неверно, так как отсутствует множитель \( x \) перед \( \sin x \).
• -sinx — Неверно.

Примечание: Ни один из предложенных вариантов ответа точно не совпадает с полученной производной \( \cos x - x \sin x \). Предполагается, что в вариантах ответа могла быть опечатка.

Ответ: Производная функции \( y = x \cdot \cos x \) равна \( \cos x - x \sin x \).