5. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 3-х полуокружностей (диаметром АВ, диаметром ВС и диаметром АС) и прямоугольного треугольника. Найдите площадь закрашенной области (п = 3,14). (4 балла)

Решение:

1. Найдем площадь прямоугольного треугольника АВС: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$$
2. Найдем площадь полукруга, построенного на стороне АВ как на диаметре: $$S_{AB} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot (\frac{12}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 6^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 36 = 56.52 \text{ см}^2$$
3. Найдем площадь полукруга, построенного на стороне ВС как на диаметре: $$S_{BC} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot (\frac{16}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 8^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 64 = 100.48 \text{ см}^2$$
4. Найдем площадь полукруга, построенного на стороне АС как на диаметре: $$S_{AC} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot (\frac{20}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 10^2 = \frac{1}{2} \cdot 3.14 \cdot 100 = 157 \text{ см}^2$$
5. Площадь закрашенной области равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах, минус площадь полукруга, построенного на гипотенузе, плюс площадь треугольника: $$S = S_{AB} + S_{BC} - S_{AC} + S_{ABC} = 56.52 + 100.48 - 157 + 96 = 96 \text{ см}^2$$

Ответ: 96 см²