Фигура ограничена линиями y = e^x, y = e^(-x), x = 1. Выберите корректную запись для вычисления ее площади.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) и прямыми \( x=a \), \( x=b \), где \( f(x) ≥ g(x) \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \]

В данном случае, на отрезке от \( x=0 \) до \( x=1 \), функция \( y = e^x \) находится выше функции \( y = e^{-x} \), так как \( e^x ≥ e^{-x} \) при \( x ≥ 0 \).

Интегрирование проводится от \( x=0 \) до \( x=1 \).

Таким образом, правильная запись для вычисления площади:

\[ S = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx \]

Среди предложенных вариантов, вариант 'a' наиболее близок, но имеет неправильные пределы интегрирования.

Пересмотрим условие: фигура ограничена линиями \( y = e^x \), \( y = e^{-x} \) и прямой \( x=1 \). Также предполагается, что нижней границей является ось абсцисс, или же одна из кривых является верхней, а другая - нижней. Рассмотрим пересечение кривых. \( e^x = e^{-x} \) при \( x = 0 \). Следовательно, нижний предел интегрирования по \(x\) будет \(0\).

Верхний предел интегрирования задан как \( x=1 \).

На интервале \( [0, 1] \), \( e^x ≥ e^{-x} \).

Значит, площадь вычисляется как:

\[ S = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx \]

Сравнивая с предложенными вариантами:

• a. \( S = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx \) - этот вариант совпадает с нашим расчетом.
• b. \( S = \int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x}) dx \) - пределы интегрирования неверны.
• c. \( S = \int_{0}^{1} (e^x + e^{-x}) dx \) - знак между функциями неверен.
• d. \( S = \int_{0}^{1} (e^{-x} - e^x) dx \) - знак между функциями неверен, так как \(e^x ≥ e^{-x}\) на \( [0,1] \).

Ответ: a.