Для заполнения пропусков в вопросах с использованием вспомогательных глаголов do/does, нужно учитывать следующее правило: вспомогательный глагол do используется с местоимениями I, you, we, they, а does - с местоимениями he, she, it. В данном предложении речь идет о родителях (они = they), следовательно, нужен вспомогательный глагол do.
Заполним пропуск:
Do your parents watch TV in the morning?
Ответ: Do