Fill in the blanks with the correct justification for each step of the proof.

Решение:

У нас есть задача доказать, что прямая АС является касательной к окружности. Для этого мы будем использовать данные из условия и геометрические свойства.

1. OC = OB

   Это утверждение верно, потому что OB и OC являются радиусами одной и той же окружности. Все радиусы окружности равны между собой.

2. ΔABO = ΔACO

   Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников – по трем сторонам (3-й вариант в скобках). У нас есть: AO – общая сторона для обоих треугольников; OB = OC (из пункта 1); AB = AC (по условию задачи). Следовательно, треугольники равны по трем сторонам.

3. OB ⊥ AB

   Это утверждение является известным свойством касательной. Прямая, касающаяся окружности в точке B (прямая AB, по условию), перпендикулярна радиусу OB, проведенному в точку касания.

4. OC ⊥ AC

   Из равенства треугольников ΔABO = ΔACO следует равенство их соответствующих углов. В частности, ∠ AOB = ∠ AOC. Также, так как OB ⊥ AB (из пункта 3), то ∠ ABO = 90°. В равных треугольниках равны и соответствующие углы. Следовательно, ∠ ACO = ∠ ABO = 90°. Это означает, что OC ⊥ AC.

5. АС касается окружности

   Последнее утверждение следует из того, что радиус OC перпендикулярен прямой АС в точке C. По определению касательной, если прямая перпендикулярна радиусу окружности в точке, лежащей на окружности, то эта прямая является касательной к окружности.

Ответ:

1. (радиусы одной окружности)
2. (по трём сторонам)
3. (по свойству перпендикулярных прямых)
4. (по равенству углов в равных треугольниках)
5. (по определению касательной)