Find \(\angle AMB\)

Решение:

Из условия задачи, прямые \(AM\) и \(BM\) являются касательными к окружности с центром в точке \(O\). Так как \(OA\) и \(OB\) — радиусы, проведенные в точки касания, то они перпендикулярны касательным, следовательно, углы \(\angle OAM\) и \(\angle OBM\) прямые, то есть \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ\).

В четырехугольнике \(AOBM\) сумма углов равна 360°. Обозначим \(\angle AOB = \theta\), тогда \(\angle AMB\) можно найти следующим образом:

\[\angle AMB = 360^\circ - (\angle OAM + \angle OBM + \angle AOB)\] \[\angle AMB = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + \angle AOB) = 360^\circ - 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - \angle AOB\]

Угол \(\angle AMB\) равен \(180^\circ - \angle AOB\).

Если \(\angle AOB = 60^\circ\), то

\[\angle AMB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\]

Если \(\angle AOB = 90^\circ\), то

\[\angle AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\]

Если \(\angle AOB = 120^\circ\), то

\[\angle AMB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\]

Ответ: \(\angle AMB = 180^\circ - \angle AOB\)