Find angle MCB.

Решение:

Из предыдущего пункта мы знаем, что \( \angle AEC = 90^{\circ} \), \( \angle ABC = 22.5^{\circ} \), \( \angle BAC = 90^{\circ} \) и \( \angle BCA = \frac{3}{4} \alpha = \frac{3}{4} 90^{\circ} = 67.5^{\circ} \).

Так как CM — высота, то \( \angle MCB = \angle ACB = 67.5^{\circ} \) (если M лежит между A и C).

Однако, на чертеже видно, что E лежит между M и C. Угол \( \angle AEC = 90^{\circ} \). CM — высота, значит \( \angle AMC = 90^{\circ} \) и \( \angle BMC = 90^{\circ} \).

АК — высота, значит \( \angle AKC = 90^{\circ} \) и \( \angle AKB = 90^{\circ} \).

Мы нашли, что \( \angle BCA = 67.5^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle MCB \) (так как CM - высота, \( \angle BMC = 90^{\circ} \)):

\( \angle MCB + \angle MBC = 90^{\circ} \).

\( \angle MCB + \angle ABC = 90^{\circ} \).

\( \angle MCB + 22.5^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \angle MCB = 90^{\circ} - 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ} \).

Ответ: 67.5