Find sum of all x |x - 2| + |x + 4| = 10

Решение:

Данное уравнение содержит модули. Разобьём числовую прямую на интервалы, исходя из точек, где выражения под модулем равны нулю: \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) и \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \).

Интервалы:

1. \( x < -4 \)
2. \( -4 \le x < 2 \)
3. \( x \ge 2 \)

Случай 1: \( x < -4 \)

В этом случае \( x - 2 < 0 \) и \( x + 4 < 0 \). Уравнение примет вид:

\( -(x - 2) - (x + 4) = 10 \)

\( -x + 2 - x - 4 = 10 \)

\( -2x - 2 = 10 \)

\( -2x = 12 \)

\( x = -6 \)

Значение \( x = -6 \) удовлетворяет условию \( x < -4 \).

Случай 2: \( -4 \le x < 2 \)

В этом случае \( x - 2 < 0 \) и \( x + 4 \ge 0 \). Уравнение примет вид:

\( -(x - 2) + (x + 4) = 10 \)

\( -x + 2 + x + 4 = 10 \)

\( 6 = 10 \)

Это равенство неверно, значит, в данном интервале решений нет.

Случай 3: \( x \ge 2 \)

В этом случае \( x - 2 \ge 0 \) и \( x + 4 \ge 0 \). Уравнение примет вид:

\( (x - 2) + (x + 4) = 10 \)

\( x - 2 + x + 4 = 10 \)

\( 2x + 2 = 10 \)

\( 2x = 8 \)

\( x = 4 \)

Значение \( x = 4 \) удовлетворяет условию \( x \ge 2 \).

Найденные решения: \( x = -6 \) и \( x = 4 \).

Найдем сумму всех найденных значений \( x \):

\( -6 + 4 = -2 \)

Ответ: -2