Find the area of the region bounded by the curves: a) $$y = 6x - x^2$$ and the x-axis b) $$y = 6x - x^2$$, the x-axis, $$x=0$$, and $$x=3$$ c) $$y = \sin x$$, the x-axis, $$x=\frac{\pi}{6}$$, and $$x=\frac{\pi}{3}$$ Also consider the region bounded by $$y=x^2$$ and $$y=3x+2x^2$$.

Решение:

Для нахождения площади области, ограниченной кривыми, мы будем использовать определенные интегралы.

1. a) Площадь, ограниченная $$y = 6x - x^2$$ и осью x.

   Сначала найдем точки пересечения кривой с осью x, приравняв $$y=0$$: $$6x - x^2 = 0 \implies x(6-x) = 0$$. Корни: $$x=0$$ и $$x=6$$.

   Площадь $$A_1 = \int_0^6 (6x - x^2) dx$$.

   $$A_1 = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^6 = (3(6^2) - \frac{6^3}{3}) - (0) = (3 \times 36 - \frac{216}{3}) = 108 - 72 = 36$$

2. b) Площадь, ограниченная $$y = 6x - x^2$$, осью x, $$x=0$$, и $$x=3$$.

   В данном случае интервал интегрирования задан: от $$x=0$$ до $$x=3$$. На этом интервале функция $$y = 6x - x^2$$ положительна.

   Площадь $$A_2 = \int_0^3 (6x - x^2) dx$$.

   $$A_2 = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = (3(3^2) - \frac{3^3}{3}) - (0) = (3 \times 9 - \frac{27}{3}) = 27 - 9 = 18$$

3. c) Площадь, ограниченная $$y = \sin x$$, осью x, $$x=\frac{\pi}{6}$$, и $$x=\frac{\pi}{3}$$.

   На интервале от $$\frac{\pi}{6}$$ до $$\frac{\pi}{3}$$ функция $$\sin x$$ положительна.

   Площадь $$A_3 = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sin x dx$$.

   $$A_3 = [-\cos x]_{\pi/6}^{\pi/3} = -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

4. Область, ограниченная $$y = x^2$$ и $$y = 3x + 2x^2$$.

   Найдем точки пересечения кривых: $$x^2 = 3x + 2x^2 \implies x^2 + 3x = 0 \implies x(x+3) = 0$$. Корни: $$x=0$$ и $$x=-3$$.

   На интервале $$[-3, 0]$$, функция $$y = 3x + 2x^2$$ находится выше $$y = x^2$$.

   Площадь $$A_4 = \int_{-3}^0 ((3x + 2x^2) - x^2) dx = \int_{-3}^0 (3x + x^2) dx$$.

   $$A_4 = \left[ \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^0 = (0) - (\frac{3(-3)^2}{2} + \frac{(-3)^3}{3}) = - (\frac{3 \times 9}{2} + \frac{-27}{3}) = - (\frac{27}{2} - 9) = - (\frac{27 - 18}{2}) = -\frac{9}{2}$$.

   Площадь не может быть отрицательной, поэтому берем абсолютное значение: $$A_4 = \frac{9}{2}$$.

Ответ: a) 36, b) 18, c) $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$, d) $$\frac{9}{2}$$.