Find the value of the expression \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{3}\).

Решение:

1. Преобразуем подкоренное выражение:\( \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{7 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} \)
2. Применим формулу квадрата разности:\( \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| \)
3. Раскроем модуль: Так как \( 2 > \sqrt{3} \) (так как \( 4 > 3 \)), то \( |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3} \).
4. Подставим значение в исходное выражение:\( \sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})+\sqrt{3} = 2 \).

Ответ: 2