Find x, if log base x of 64 = -2.

Решение:

1. Определение логарифма: Логарифм числа $$b$$ по основанию $$a$$ – это показатель степени, в которую нужно возвести основание $$a$$, чтобы получить число $$b$$. Это можно записать как \( \log_a b = c \iff a^c = b \).
2. Применение определения к задаче: В нашем случае \( \log_x 64 = -2 \). По определению логарифма, это означает, что \( x^{-2} = 64 \).
3. Решение уравнения: Чтобы решить уравнение \( x^{-2} = 64 \), вспомним, что \( x^{-2} = \frac{1}{x^2} \). Таким образом, \( \frac{1}{x^2} = 64 \).
4. Нахождение $$x^2$$: Из \( \frac{1}{x^2} = 64 \) следует, что \( x^2 = \frac{1}{64} \).
5. Нахождение $$x$$: Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем \( x = \pm\sqrt{\frac{1}{64}} \). Следовательно, \( x = \pm\frac{1}{8} \).
6. Проверка основания логарифма: Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1. Поэтому \( x = -1/8 \) не подходит.

Ответ: \( x = \frac{1}{8} \)