Фирма устанавливает ветряки на приусадебных участках. Для этого необходима установка, у которой концы балок АВ и DC соединяют специальными проволоками АС и BD, пересекающимися в точке О. Для надёжности установки дополнительно сооружают балку КО перпендикулярно поверхности земли. Докажи, что длина балки ОК не зависит от того, на каком расстоянии друг от друга расположены АВ и CD, выразив длину вспомогательной балки ОК через длины балок АВ = 2 и DC = 6.

Пусть AB и DC - два отрезка, перпендикулярных прямой AD, и пусть KO - отрезок, также перпендикулярный AD, где K лежит между A и D. O - точка пересечения прямых AC и BD.

Докажем, что длина отрезка OK не зависит от расстояния между AB и DC.

Пусть AB = a, DC = b и OK = h. Обозначим AK = x и KD = y. Тогда AD = x + y.

Треугольники ABO и CDO подобны, так как углы BAO и DCO равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC, а углы ABO и CDO равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.

Из подобия следует, что $$\frac{AB}{DC} = \frac{a}{b}$$.

Рассмотрим треугольники ABK и DCO. Они подобны, так как углы ABK и CDK прямые, а углы BAO и CDO равны как вертикальные углы.

Тогда $$\frac{OK}{AB} = \frac{KD}{AD}$$, или $$\frac{h}{a} = \frac{y}{x+y}$$.

Также рассмотрим треугольники AKO и ADC. Они подобны, так как углы AKO и ADC прямые, а углы KAO и DAC равны как вертикальные углы.

Тогда $$\frac{OK}{DC} = \frac{AK}{AD}$$, или $$\frac{h}{b} = \frac{x}{x+y}$$.

Сложим два последних уравнения:

$$\frac{h}{a} + \frac{h}{b} = \frac{y}{x+y} + \frac{x}{x+y} = \frac{x+y}{x+y} = 1$$ $$h\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 1$$ $$h = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{ab}{a+b}$$

Таким образом, длина OK выражается как $$\frac{ab}{a+b}$$, где a и b - длины AB и DC соответственно.

Длина OK зависит только от длин AB и DC и не зависит от расстояния между ними.

Подставим значения AB = 2 и DC = 6:

$$OK = \frac{2 \cdot 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ: $$\frac{3}{2} = 1.5$$