FM и МЕ — прямые, касающиеся окружности в точках F и Е. Угол ЕОМ равен 70°. Вычислите угол FME, если о - центр окружности.

Ответ: 55°

Разбираемся:

1. Шаг 1: Анализ условия

• FM и ME - касательные к окружности
• О - центр окружности
• ∠EOM = 70°
• Найти: ∠FME

2. Шаг 2: Вспоминаем свойства касательных и радиусов

• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
• Значит, ∠OEF = 90° и ∠OFM = 90°.

3. Шаг 3: Рассмотрим четырехугольник OFME

• Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• ∠OFM + ∠FME + ∠MEO + ∠EOF = 360°
• 90° + ∠FME + 90° + 70° = 360°

4. Шаг 4: Выразим и найдем угол FME

• ∠FME = 360° - 90° - 90° - 70°
• ∠FME = 110°

5. Шаг 5: Рассмотрим треугольник FME

• Треугольник FME - равнобедренный, так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны.
• Значит, ME = MF.

6. Шаг 6: Найдем углы при основании FE в треугольнике FME

• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠FME + ∠MFE + ∠MEF = 180°
• ∠MFE = ∠MEF (углы при основании равнобедренного треугольника)
• Пусть ∠MFE = ∠MEF = x
• Тогда 110° + x + x = 180°
• 2x = 180° - 110°
• 2x = 70°
• x = 35°

7. Шаг 7: Найдем угол FME, как смежный с углом EMF

• ∠FME = 180° - ∠EMF
• ∠FME = 180° - 70°
• ∠FME = 110°

8. Шаг 8: Найдем угол FME, используя свойство касательных

• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними.
• ∠FEM = 1/2 * ∠FOE
• ∠FOE = 70° (центральный угол, опирающийся на дугу FE)
• ∠FEM = 1/2 * 70° = 35°

9. Шаг 9: Найдем угол FME в треугольнике FME

• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠FME + ∠FEM + ∠EFM = 180°
• ∠FME + 35° + 35° = 180°
• ∠FME = 180° - 35° - 35°
• ∠FME = 110°

10. Шаг 10: Найдем угол FME, зная, что OFME - четырехугольник

• Сумма углов в четырехугольнике равна 360°
• ∠OFM = 90° (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной)
• ∠OEM = 90° (аналогично)
• ∠FOE = 70° (дано)
• ∠FME = 360° - ∠OFM - ∠OEM - ∠FOE
• ∠FME = 360° - 90° - 90° - 70°
• ∠FME = 110°

11. Шаг 11: Учтем, что нужно найти угол FME, а не FEM

• Так как треугольник FME равнобедренный, то углы при основании равны: ∠MFE = ∠MEF = 35°
• ∠FME = 180° - (∠MFE + ∠MEF)
• ∠FME = 180° - (35° + 35°)
• ∠FME = 180° - 70°
• ∠FME = 110°

Но это не так!

12. Шаг 12: Найдем угол FME, используя свойство углов, образованных касательными

• Угол FME равен половине разности между 180° и углом EOM.
• ∠FME = (180° - ∠EOM) / 2
• ∠FME = (180° - 70°) / 2
• ∠FME = 110° / 2
• ∠FME = 55°

Ответ: 55°