\( \frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{1}{42}} \)

Решение:

Для решения данного выражения необходимо сначала сложить дроби в знаменателе, а затем разделить единицу на полученный результат.

1. Найдем общий знаменатель для дробей \( \frac{1}{30} \) и \( \frac{1}{42} \). Разложим числа на простые множители: \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \) и \( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \). Наименьшее общее кратное равно \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 \).
2. Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 7}{30 \cdot 7} = \frac{7}{210} \) и \( \frac{1}{42} = \frac{1 \cdot 5}{42 \cdot 5} = \frac{5}{210} \).
3. Сложим дроби: \( \frac{7}{210} + \frac{5}{210} = \frac{7+5}{210} = \frac{12}{210} \).
4. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 12 и 210 — это 6. \( \frac{12}{210} = \frac{12 \div 6}{210 \div 6} = \frac{2}{35} \).
5. Теперь разделим единицу на полученную дробь: \( \frac{1}{\frac{2}{35}} = 1 \div \frac{2}{35} = 1 \cdot \frac{35}{2} = \frac{35}{2} \).
6. Переведем неправильную дробь в смешанное число: \( \frac{35}{2} = 17 \frac{1}{2} \).

Ответ: \( 17\frac{1}{2} \).