$$\frac{6^5}{4^3 \cdot 3^4}$$

Привет! Давай разберемся с этим примером вместе.

Перед нами дробь, где в числителе стоит 6 в пятой степени, а в знаменателе — произведение 4 в кубе и 3 в четвертой степени.

Чтобы упростить эту дробь, нам нужно разложить все основания степеней на простые множители.

1. Разложим 6 на простые множители:

   \[ 6 = 2 \times 3 \]

   Значит, 6⁵ можно представить как:

   \[ 6^5 = (2 \times 3)^5 \]

   По свойству степеней, это будет:

   \[ 2^5 \times 3^5 \]

2. Разложим 4 на простые множители:

   \[ 4 = 2 \times 2 = 2^2 \]

   Значит, 4³ будет:

   \[ 4^3 = (2^2)^3 \]

   По свойству степеней, это будет:

   \[ 2^{2 \times 3} = 2^6 \]

3. Основание 3 в знаменателе уже простое число, поэтому 3⁴ остается без изменений.

Теперь подставим разложенные числа обратно в нашу дробь:

\[ \frac{6^5}{4^3 \cdot 3^4} = \frac{2^5 \times 3^5}{2^6 \times 3^4} \]

Дальше мы можем сократить степени с одинаковыми основаниями. По правилу деления степеней с одинаковым основанием, мы вычитаем показатели степени.

Сокращаем степени с основанием 2:

\[ \frac{2^5}{2^6} = 2^{5-6} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \]

Сокращаем степени с основанием 3:

\[ \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 \]

Теперь перемножим полученные результаты:

\[ \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2} \]

Можно представить результат в виде десятичной дроби:

\[ \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ: 1.5