\(\frac{x+1}{3x}:\frac{x^2+2x+1}{9x^2}\)

ОДЗ: \(x\ne 0\), \(x\ne -1\).

Разложим квадрат суммы: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\).

Заменим деление умножением на обратную дробь:

\[\frac{x+1}{3x}:\frac{(x+1)^2}{9x^2}=\frac{x+1}{3x}\cdot\frac{9x^2}{(x+1)^2}.\]

Сократим дробь:

\[\frac{x+1}{3x}\cdot\frac{9x^2}{(x+1)^2}=\frac{3x}{x+1}.\]

Ответ: \(\frac{3x}{x+1}\), \(x\ne 0,-1\).