\(\frac{(x-2)^2}{2}+\frac{18}{(x-2)^2}=7\left(\frac{x-2}{2}-\frac{3}{x-2}\right)+10\)

ОДЗ: \(x\ne2\), так как знаменатель не должен быть равен нулю.

Умножим обе части уравнения на \(2(x-2)^2\):

\((x-2)^4+36=7(x-2)^3-42(x-2)+20(x-2)^2\).

Перенесём все слагаемые в левую часть и раскроем скобки:

\(x^4-15x^3+4x^2+126x-108=0\).

Разложим многочлен на множители:

\((x-4)(x+1)(x^2-12x+14)=0\).

Отсюда:

1. \(x-4=0\), поэтому \(x=4\);
2. \(x+1=0\), поэтому \(x=-1\);
3. \(x^2-12x+14=0\).

Решим квадратное уравнение:

\(D=(-12)^2-4\cdot1\cdot14=88\),

\(x=\frac{12\pm\sqrt{88}}{2}=6\pm\sqrt{22}\).

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x\in\{-1;\,4;\,6-\sqrt{22};\,6+\sqrt{22}\}\).