функции y=\begin{cases} -x^2 + 10x - 21, x \geq 3, \\ -x+5, x < 3. \end{cases} Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе. Нам нужно найти такие значения m, при которых прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком заданной кусочной функции.

Рассмотрим функцию:

\[ y = \begin{cases} -x^2 + 10x - 21, x \geq 3, \\ -x+5, x < 3. \end{cases} \]

Сначала рассмотрим первую часть функции, когда x ≥ 3:

\[ y = -x^2 + 10x - 21\]

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину этой параболы:

\[ x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2(-1)} = 5\]

Теперь найдем значение функции в вершине:

\[ y_в = -5^2 + 10 \cdot 5 - 21 = -25 + 50 - 21 = 4\]

Так как x ≥ 3, вершина параболы (5, 4) входит в рассматриваемый интервал. Теперь найдем значение функции при x = 3:

\[ y(3) = -3^2 + 10 \cdot 3 - 21 = -9 + 30 - 21 = 0\]

Теперь рассмотрим вторую часть функции, когда x < 3:

\[ y = -x + 5\]

Это прямая с угловым коэффициентом -1. Найдем значение функции при x = 3:

\[ y(3) = -3 + 5 = 2\]

Итак, у нас есть парабола с вершиной в точке (5, 4) и значением 0 при x = 3, и прямая, стремящаяся к значению 2 при x = 3.

Теперь проанализируем, при каких значениях m прямая y = m будет иметь ровно две общие точки с графиком:

• Если m = 4, прямая y = 4 касается параболы в вершине (одна точка) и не пересекает прямую (так как значение прямой при x = 3 равно 2). Но нужно учесть, что функция определена как x ≥ 3 для параболы и x < 3 для прямой.
• При m = 0, прямая y = 0 пересекает параболу в точке (3, 0) (одна точка) и не пересекает прямую, так как x < 3.
• Если m находится между 0 и 2 (0 < m < 2), то прямая пересекает параболу в двух точках и не пересекает прямую.
• Если m = 2, прямая пересекает параболу в двух точках и приближается к прямой y = -x + 5 в точке x = 3. Однако, поскольку x строго меньше 3 для прямой, пересечения нет.

Исходя из анализа, прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком, когда m = 4.

Ответ: m = 4

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!