функции $$y = \frac{3x+5}{3x^2+5x}$$. Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Логика решения:

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $$y = \frac{3x+5}{3x^2+5x}$$ и $$y = kx$$, нужно приравнять их:

$$kx = \frac{3x+5}{3x^2+5x}$$

Для начала, определим область допустимых значений. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$3x^2+5x
eq 0 \implies x(3x+5)
eq 0 \implies x
eq 0$$ и $$x
eq -5/3$$.

Теперь решим уравнение:

$$kx(3x^2+5x) = 3x+5$$

$$3kx^3 + 5kx^2 = 3x+5$$

$$3kx^3 + 5kx^2 - 3x - 5 = 0$$

Сгруппируем члены:

$$3x(kx^2-1) + 5(kx^2-1) = 0$$

$$(3x+5)(kx^2-1) = 0$$

Это уравнение имеет два множителя. Рассмотрим каждый из них:

• 1. $$3x+5=0$$
• $$3x = -5$$
• $$x = -5/3$$

Однако, мы знаем, что $$x
eq -5/3$$, поэтому этот корень не подходит.

• 2. $$kx^2-1 = 0$$
• $$kx^2 = 1$$
• $$x^2 = 1/k$$

Чтобы уравнение $$x^2 = 1/k$$ имело ровно одно решение, которое не равно $$0$$ и $$-5/3$$, нам нужно рассмотреть два случая:

• Случай 1: $$1/k > 0$$
• Это возможно, когда $$k > 0$$. Тогда $$x = \pm\sqrt{1/k}$$.
• Мы получаем два решения: $$x_1 = \sqrt{1/k}$$ и $$x_2 = -\sqrt{1/k}$$.
• Чтобы из этих двух решений осталось только одно, нам нужно, чтобы одно из них было равно $$-5/3$$ (так как $$x=0$$ не является решением $$kx^2-1=0$$).
• Если $$x_1 = -5/3$$, то $$(-5/3)^2 = 1/k ightarrow 25/9 = 1/k ightarrow k = 9/25$$.
• В этом случае $$x_1 = 5/3$$ и $$x_2 = -5/3$$. Но $$x=-5/3$$ не входит в ОДЗ.
• Если $$x_2 = -5/3$$, то $$(-5/3)^2 = 1/k ightarrow 25/9 = 1/k ightarrow k = 9/25$$.
• При $$k = 9/25$$, $$x^2 = 25/9$$, $$x = \pm 5/3$$. Но $$x = -5/3$$ недопустимо. Значит, остается только $$x = 5/3$$.
• Таким образом, при $$k=9/25$$ имеем одно допустимое решение $$x=5/3$$.
• Случай 2: $$1/k < 0$$
• Это возможно, когда $$k < 0$$. Тогда действительных решений нет.
• Случай 3: $$1/k = 0$$
• Это невозможно.
• Случай 4: $$x=0$$
• Если $$x=0$$ было бы решением $$kx^2-1=0$$, то $$k(0)^2-1=0$$, то есть $$-1=0$$, что невозможно.

Таким образом, единственное значение $$k$$, при котором получается ровно одно решение, это $$k=9/25$$.

Проверим другие варианты:

• Если $$k = -3/5$$, то $$x^2 = 1/(-3/5) = -5/3$$. Действительных решений нет.
• Если $$k = 5/3$$, то $$x^2 = 1/(5/3) = 3/5$$. $$x = \pm\sqrt{3/5}$$. Оба решения допустимы.
• Если $$k = 0$$, то $$0 imes x^2 - 1 = 0 ightarrow -1 = 0$$, решений нет.
• Если $$k = -1$$, то $$x^2 = 1/(-1) = -1$$. Действительных решений нет.

Подводя итог, единственное значение $$k$$, при котором прямая $$y=kx$$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции $$y = \frac{3x+5}{3x^2+5x}$$, — это $$k = 9/25$$.

Ответ: $$k = \frac{9}{25}$$