Функции y = x|x| - |x| - 3x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Для того чтобы определить, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком функции y = x|x| - |x| - 3x ровно две общие точки, нам нужно проанализировать функцию и ее график.

Сначала раскроем модули:

• Случай 1: x ≥ 0
  В этом случае |x| = x. Функция принимает вид:
  = x · x − x − 3x
  = x² − 4x
• Случай 2: x < 0
  В этом случае |x| = -x. Функция принимает вид:
  = x · ( -x ) − ( -x ) − 3x
  = −x² + x − 3x
  = −x² − 2x

Теперь построим график функции, состоящий из двух частей:

1. Парабола y = x² - 4x для x ≥ 0:
   Вершина параболы находится в точке x = -(-4) / (2 · 1) = 2. Значение y в вершине: y = 2² - 4 · 2 = 4 - 8 = -4. Точка пересечения с осью y (x=0): y = 0.
2. Парабола y = -x² - 2x для x < 0:
   Вершина параболы находится в точке x = -(-2) / (2 · -1) = 2 / -2 = -1. Значение y в вершине: y = -(-1)² - 2 · (-1) = -1 + 2 = 1. Точка пересечения с осью x (y=0): -x² - 2x = 0 → -x(x+2) = 0 → x=0 или x=-2.

Прямая y = m является горизонтальной линией. Нам нужно найти такие значения m, при которых эта линия пересекает график функции в двух точках.

Анализируя график:

• Если m > 1, прямая не пересекает график.
• Если m = 1, прямая касается графика в вершине второй параболы (x = -1), но пересекает первую параболу в двух точках (решив x² - 4x = 1, получим два значения x). Таким образом, в этом случае 3 точки пересечения.
• Если -4 < m < 1, прямая пересекает обе ветви графика в двух точках каждая, итого 4 точки.
• Если m = -4, прямая касается графика в вершине первой параболы (x = 2) и пересекает вторую параболу в двух точках (решив -x² - 2x = -4, получим два значения x). Таким образом, в этом случае 3 точки пересечения.
• Если m < -4, прямая не пересекает график.
• Особый случай: Когда прямая проходит через точку пересечения графиков на оси y (x=0, y=0).

Пересмотрим функцию:

y = x|x| - |x| - 3x

• При x ≥ 0: y = x² - x - 3x = x² - 4x
• При x < 0: y = x(-x) - (-x) - 3x = -x² + x - 3x = -x² - 2x

График:

• Для x ≥ 0, y = x² - 4x. Это парабола ветвями вверх, вершина в (2, -4). Точка (0,0) принадлежит этой ветке.
• Для x < 0, y = -x² - 2x. Это парабола ветвями вниз, вершина в (-1, 1). Точка (0,0) не принадлежит этой ветке.

Теперь проанализируем пересечения с y = m:

1. m > 1: Нет пересечений.
2. m = 1: Пересечение в вершине (-1, 1) и еще одно пересечение на ветке y = x² - 4x. Итого 2 точки.
3. -4 < m < 1: Две точки на ветке y = -x² - 2x (т.к. вершина в ( -1, 1)) и две точки на ветке y = x² - 4x (т.к. вершина в (2, -4)). Итого 4 точки.
4. m = -4: Пересечение в вершине (2, -4) и еще одно пересечение на ветке y = -x² - 2x. Итого 2 точки.
5. m < -4: Нет пересечений.

Таким образом, прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком при m = 1 и m = -4.

Ответ: m = 1, m = -4