Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Какое из следующих утверждений о определённом интеграле \(\int\)_a^b f(x) dx является НЕВЕРНЫМ, исходя из его свойств и определения?

Решение:

Рассмотрим свойства определённого интеграла:

• a. $$\int_a^b (k \cdot f(x)) dx = k \cdot \int_a^b f(x) dx$$, где k = const. — это верное свойство интеграла (вынесение константы за знак интеграла).
• b. Пределы интегрирования a и b в определённом интеграле всегда должны удовлетворять условию a < b. — это НЕВЕРНОЕ утверждение. Пределы интегрирования могут быть равны (тогда интеграл равен 0) или нижний предел может быть больше верхнего (в этом случае $$\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx$$).
• c. Для любой точки c ∈ [a, b] справедливо равенство: $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$$. — это верное свойство интеграла (аддитивность по отрезку интегрирования).
• d. Если f(x) ≥ 0 на [a, b], то интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. — это верное геометрическое истолкование определённого интеграла для неотрицательной функции.

Ответ: b. Пределы интегрирования а и в в определённом интеграле всегда должны удовлетворять условию а < b.