Функция f(x; y) = \( \frac{2xy}{x^2 + y^2} \) является ...

Решение:

Для определения однородности функции \( f(x; y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2} \) проверим условие \( f(tx, ty) = t^k f(x, y) \) для некоторого \( k \).

Шаг 1: Подставим \( tx \) и \( ty \) в функцию.

\( f(tx, ty) = \frac{2(tx)(ty)}{(tx)^2 + (ty)^2} \)

Шаг 2: Упростим выражение.

\( f(tx, ty) = \frac{2t^2xy}{t^2x^2 + t^2y^2} = \frac{2t^2xy}{t^2(x^2 + y^2)} = \frac{2xy}{x^2 + y^2} \)

Шаг 3: Сравним с исходной функцией.

Мы видим, что \( f(tx, ty) = \frac{2xy}{x^2 + y^2} \), что равно \( f(x, y) \).

Таким образом, \( f(tx, ty) = t^0 f(x, y) \), где \( k=0 \).

Поскольку мы нашли такое \( k \), функция является однородной.

Ответ: однородной