Функция f(x, y, z) = -1/2 * (x^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + y^2 + z^2)^2 имеет в точке (0, 0, 0) локальный минимум?

1. Вычислим частные производные первого порядка:

∂f/∂x = -x + 2x(x^2 + y^2 + z^2)

∂f/∂y = -y + 2y(x^2 + y^2 + z^2)

∂f/∂z = -z + 2z(x^2 + y^2 + z^2)

Приравняв их к нулю в точке (0,0,0), получаем 0=0, что подтверждает, что (0,0,0) является стационарной точкой.

2. Вычислим частные производные второго порядка:

∂²f/∂x² = -1 + 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2x²

∂²f/∂y² = -1 + 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2y²

∂²f/∂z² = -1 + 2(x^2 + y^2 + z^2) + 2z²

∂²f/∂x∂y = 4xy

∂²f/∂x∂z = 4xz

∂²f/∂y∂z = 4yz

3. Подставим точку (0,0,0) в производные второго порядка:

∂²f/∂x² = -1

∂²f/∂y² = -1

∂²f/∂z² = -1

∂²f/∂x∂y = 0

∂²f/∂x∂z = 0

∂²f/∂y∂z = 0

4. Составим матрицу Гессе:

H = [[-1, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, -1]]

5. Найдем определители главных миноров:

D1 = -1

D2 = (-1)(-1) - 0*0 = 1

D3 = (-1)(1) = -1

Так как D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, то точка (0,0,0) является локальным максимумом.