Функция f(x) = \frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+2x-1 возрастает на промежутке

Привет! Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно определить, на каком промежутке функция \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x - 1 \) возрастает.

Чтобы функция возрастала, её производная должна быть больше нуля.

1. Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = x^2 - 3x + 2 \]

2. Определим, когда производная больше нуля: Решим неравенство \( x^2 - 3x + 2 > 0 \).

3. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x + 2 = 0 \): Используем теорему Виета:

\[ x_1 + x_2 = 3 \]

\[ x_1 \cdot x_2 = 2 \]

Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 2 \).

4. Определим знаки производной на интервалах:

Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней корни 1 и 2.

* На интервале \( (-\infty; 1) \) выберем точку \( x = 0 \). Тогда \( f'(0) = 0^2 - 3\cdot0 + 2 = 2 > 0 \).

* На интервале \( (1; 2) \) выберем точку \( x = 1.5 \). Тогда \( f'(1.5) = (1.5)^2 - 3\cdot1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0 \).

* На интервале \( (2; +\infty) \) выберем точку \( x = 3 \). Тогда \( f'(3) = 3^2 - 3\cdot3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \).

5. Запишем интервалы возрастания:

Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; 1) \) и \( (2; +\infty) \).

Таким образом, правильный ответ: 2 и 3.