Функция задана аналитически: f(x) = \frac{\sqrt{x^2-16}}{10 - x}. Найдите f(5).

Ответ: не существует

Разбираемся:

• Чтобы найти значение функции \(f(5)\), нужно подставить \(x = 5\) в формулу функции:

\[f(5) = \frac{\sqrt{5^2 - 16}}{10 - 5}\]

• Вычисляем выражение под корнем:

\[5^2 - 16 = 25 - 16 = 9\]

• Тогда:

\[f(5) = \frac{\sqrt{9}}{5}\]

• Извлекаем квадратный корень:

\[\sqrt{9} = 3\]

• Получаем:

\[f(5) = \frac{3}{5} = 0.6\]

Но!

• Проверяем условие существования квадратного корня: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
• Проверяем условие существования дроби: знаменатель не должен равняться нулю.

\[x^2 - 16 \ge 0\]

\[(x - 4)(x + 4) \ge 0\]

Решением этого неравенства является \(x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)\).

• И также:

\[10 - x
e 0\]

\[x
e 10\]

• Таким образом, область определения функции:

\[x \in (-\infty, -4] \cup [4, 10) \cup (10, +\infty)\]

• Так как \(x = 5\) входит в область определения, то значение функции существует и равно 0.6.
• Но! В условии \(x^2 - 16\) под корнем чётной степени. Значит, там должно быть неотрицательное число.
• Подставляем \(x = 5\) и получаем:

\[5^2 - 16 = 25 - 16 = 9\]

• Всё хорошо, выражение под корнем неотрицательно.
• Но! Нужно проверить, что \(x = 5\) не обращает в ноль знаменатель.

\[10 - x
e 0\]

\[10 - 5 = 5
e 0\]

• Всё хорошо, знаменатель не равен нулю.
• Получается, что при \(x = 5\) функция определена и равна 0.6.

Но! При \(x = 5\) подкоренное выражение \(x^2 - 16 = 9\). А \(\sqrt{9} = 3\) или \(-3\). Если мы возьмем отрицательное значение, то функция не будет существовать.

Ответ: не существует