5. f(x) = ln tg² 2x; Найти f '(\frac{\pi}{8})

Для решения данной задачи необходимо найти производную функции $$f(x) = \ln(\tan^2(2x))$$ и вычислить ее значение в точке $$x = \frac{\pi}{8}$$.

1. Найдем производную функции $$f(x) = \ln(\tan^2(2x))$$.

Сначала упростим функцию, используя свойство логарифма: $$\ln(a^b) = b \ln(a)$$

$$f(x) = 2 \ln(\tan(2x))$$

2. Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\tan(2x)} \cdot (\tan(2x))'$$

Производная $$(\tan(2x))'$$ равна:

$$(\tan(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2(2x)}$$

Подставим это в выражение для $$f'(x)$$.

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\tan(2x)} \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{4}{\tan(2x) \cos^2(2x)}$$

Преобразуем, используя $$\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$$:

$$f'(x) = \frac{4}{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \cos^2(2x)} = \frac{4}{\sin(2x) \cos(2x)}$$

Используем формулу $$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$$ в обратном порядке:

$$f'(x) = \frac{4}{\frac{1}{2} \sin(4x)} = \frac{8}{\sin(4x)}$$

2. Вычислим значение производной в точке $$x = \frac{\pi}{8}$$:

$$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{8}{\sin(4 \cdot \frac{\pi}{8})} = \frac{8}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{8}{1} = 8$$

Ответ: 8