5) f(x) = x³ - 3x²

По фото задана функция: $$f(x) = x^3 - 3x^2$$.

Обычно в школьном курсе математики для этой функции требуется найти производную, нули функции, промежутки возрастания и убывания, экстремумы и построить график.

Покажем типовой пример такого решения.

1. Найдём производную функции: $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$.
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: $$3x^2 - 6x = 0$$.
   Вынесем общий множитель за скобки: $$3x(x - 2) = 0$$.
   Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 2$$.
3. Определим знаки производной на каждом из интервалов, образованных критическими точками. Для этого возьмём пробные точки на каждом интервале и вычислим значение производной в этих точках:
   • $$x = -1$$, $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$$.
   • $$x = 1$$, $$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$$.
   • $$x = 3$$, $$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$$.
4. Определим промежутки возрастания и убывания функции:
   • Функция возрастает на интервалах $$(-\infty; 0)$$ и $$(2; +\infty)$$.
   • Функция убывает на интервале $$(0; 2)$$.
5. Определим точки экстремума функции:
   • $$x = 0$$ — точка максимума, $$f(0) = 0$$.
   • $$x = 2$$ — точка минимума, $$f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$$.
6. Построим график функции, используя найденные данные:

Ответ: выше приведён пример решения задачи для заданной функции.