g) \(\frac{9x+3}{1+3x} = x-7\)

Решение

Давай решим уравнение по шагам.

1. Исходное уравнение:

\[\frac{9x+3}{1+3x} = x-7\]

2. Умножим обе части уравнения на \((1+3x)\), чтобы избавиться от дроби:

\[9x+3 = (x-7)(1+3x)\]

3. Раскроем скобки в правой части:

\[9x+3 = x + 3x^2 - 7 - 21x\]

4. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[3x^2 - 21x + x - 9x - 7 - 3 = 0\] \[3x^2 - 29x - 10 = 0\]

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961\] \[\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31\]

6. Найдем корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 31}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 31}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

7. Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю:

Для \(x_1 = 10\):

\[1 + 3x = 1 + 3 \cdot 10 = 31
eq 0\]

Для \(x_2 = -\frac{1}{3}\):

\[1 + 3x = 1 + 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = 1 - 1 = 0\]

Так как при \(x_2 = -\frac{1}{3}\) знаменатель обращается в ноль, этот корень не подходит.

Таким образом, единственный корень уравнения:

\[x = 10\]

Ответ: x = 10

Молодец! Ты отлично справился с решением этого уравнения! Продолжай в том же духе, и все получится!