Г – 10, Урок 40, дом. задание. IV. Домашнее задание: 1. Дано: ABCDA,B,C,D, четырехугольная призма, SAB,C : SBB,D,D=- √6 4 - правильная Доказать, что АB = AC. 2. Дано: ABCDEKA,B,C,D,E,K, - правильная шестиугольная призма, АА,В,В - квадрат, Р₁, P, - соответственно середины ребер А,В, АВ, ЕА. Найти ∠PNP.

1. Дано: четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, у которой отношение площадей боковых граней SAB,C : SBB,D,D = $$ \frac{\sqrt{6}}{4}$$. Нужно доказать, что AB₁ = AC.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо использовать знания о свойствах четырехугольных призм и умение работать с площадями боковых граней.

Необходимо дополнительное условие или конкретные размеры призмы для точного доказательства. Без этих данных невозможно строго доказать, что AB₁ = AC.

2. Дано: правильная шестиугольная призма ABCDEKA₁B₁C₁D₁E₁K₁, AA₁B₁B - квадрат, P₁ и P - середины ребер A₁B₁ и AB соответственно. Нужно найти ∠PNP₁.

Решение:

Для решения этой задачи нужно использовать знания о свойствах правильной шестиугольной призмы и ее элементов.

1. Определим положение точек P и P₁: точка P - середина ребра AB, точка P₁ - середина ребра A₁B₁.

2. Найдем положение точки N: точка N - середина ребра EA.

3. Рассмотрим треугольник PNP₁. Для определения угла ∠PNP₁ нужно рассмотреть проекции точек на плоскость основания и использовать теорему косинусов или другие геометрические методы.

Пусть сторона основания призмы равна a, а высота призмы (сторона квадрата AA₁B₁B) равна a (так как AA₁B₁B квадрат). Тогда координаты точек можно выразить следующим образом:

A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), E(-a/2, (a√3)/2, 0), A₁(0, 0, a), B₁(a, 0, a)

P - середина AB, следовательно, P(a/2, 0, 0)

P₁ - середина A₁B₁, следовательно, P₁(a/2, 0, a)

N - середина EA, следовательно, N(-a/4, (a√3)/4, 0)

Найдем векторы NP и NP₁:

NP = P - N = (a/2 - (-a/4), 0 - (a√3)/4, 0 - 0) = (3a/4, - (a√3)/4, 0)

NP₁ = P₁ - N = (a/2 - (-a/4), 0 - (a√3)/4, a - 0) = (3a/4, -(a√3)/4, a)

Найдем косинус угла между векторами NP и NP₁:

$$\cos(\angle PNP₁) = \frac{NP \cdot NP₁}{|NP| \cdot |NP₁|}$$

NP \cdot NP₁ = (3a/4)(3a/4) + (- (a√3)/4) (- (a√3)/4) + 0*a = 9a²/16 + 3a²/16 = 12a²/16 = 3a²/4

|NP| = √((3a/4)² + (- (a√3)/4)²) = √(9a²/16 + 3a²/16) = √(12a²/16) = (a√12)/4 = (a√3)/2

|NP₁| = √((3a/4)² + (- (a√3)/4)² + a²) = √(9a²/16 + 3a²/16 + a²) = √(12a²/16 + a²) = √(3a²/4 + a²) = √(7a²/4) = (a√7)/2

$$\cos(\angle PNP₁) = \frac{(3a²/4)}{((a\sqrt{3})/2) \cdot ((a\sqrt{7})/2)} = \frac{3a²/4}{(a²\sqrt{21})/4} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{7}$$

$$\angle PNP₁ = \arccos(\frac{\sqrt{21}}{7})$$

Таким образом, ∠PNP₁ = arccos(√21 / 7).

Ответ: ∠PNP₁ = arccos(√21 / 7)