Г-7 Контрольная работа № 4 по теме: «Окружность и круг. Геометрические построения». Вариант 2. № 1. На рисунке 64 точка О - центр окружности, ∠MON-68°. Найдите угол MKN. № 2. К окружности с центром О проведена касательная АВ (А- точка касания). Найдите радиус окружности, если OB=10 см и ∠ABO-30°. № 3. В окружности с центром О проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF=NK (рис.65). Докажите, что ∠MNK=∠MNF.

Решение:

№ 1.

• Угол MON является центральным углом, опирающимся на дугу MN. Следовательно, градусная мера дуги MN равна 68°.
• Угол MKN является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу MN. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Таким образом, ∠MKN = 1/2 * ∠MON = 1/2 * 68° = 34°.

№ 2.

• В треугольнике OAB, ∠OAB = 90°, так как АВ - касательная, проведенная к окружности в точке А.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠AOB = 180° - 90° - 30° = 60°.
• В треугольнике OAB, OB является гипотенузой, а OA - катетом, противолежащим углу ∠ABO.
• По определению синуса: sin(∠ABO) = OA / OB.
• OA = OB * sin(∠ABO) = 10 см * sin(30°) = 10 см * 1/2 = 5 см.
• Радиус окружности равен OA.

№ 3.

• Дано: Окружность с центром О, MN - диаметр, NF = NK (хорды).
• Доказать: ∠MNK = ∠MNF.
• Доказательство:
• Так как NF = NK, то дуги, на которые опираются эти хорды, равны. Обозначим меру дуги NF как x, тогда мера дуги NK также равна x.
• Угол MNK является вписанным углом, опирающимся на дугу NK. Следовательно, ∠MNK = 1/2 * мера дуги NK = 1/2 * x.
• Угол MNF является вписанным углом, опирающимся на дугу NF. Следовательно, ∠MNF = 1/2 * мера дуги NF = 1/2 * x.
• Так как ∠MNK = 1/2 * x и ∠MNF = 1/2 * x, то ∠MNK = ∠MNF.
• Что и требовалось доказать.

Финальный ответ:

• № 1: 34°
• № 2: 5 см
• № 3: Доказано.