Г-9 КР2 В-1 1. Найдите длину отрезка МР и координаты его середины, если M(3;-3), P(-4;1). 2.а) Определите центр окружности и радиус: (x+8)²+(y-2)²=36; x²+(y − 6)²=81; б)Напишите уравнение окружности с центром в Е(-2;1) и радиусом √5. 3. Найдите периметр ДАВС, если А(5;0), B(2;-2), C(5;2) 4. Найти координаты точек пересечения двух прямых х+2y=12 и 5х - 2y=8 5.Найдите координаты точек пересечения прямой 4х+3y= — 2 с осями координат. М(1; – 2) и Р(1;-5)? Принадлежат ли этой прямой точки 6.Составьте уравнение прямой, проходящей через точки F (7,5; 8) и Т (15; –7).

1. Найдите длину отрезка МР и координаты его середины, если М(3;-3), P(-4;1).

Длина отрезка MP вычисляется по формуле:

$$MP = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Подставим координаты точек M(3;-3) и P(-4;1):

$$MP = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$$

Координаты середины отрезка MP находятся по формулам:

$$x_{mid} = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_{mid} = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

Подставим координаты точек M(3;-3) и P(-4;1):

$$x_{mid} = \frac{3 + (-4)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$$ $$y_{mid} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Координаты середины отрезка MP: (-0.5, -1).

Ответ: Длина отрезка MP = $$\sqrt{65}$$, координаты середины отрезка MP = (-0.5, -1).

2.а) Определите центр окружности и радиус: (x+8)²+(y-2)²=36; x²+(y − 6)²=81;

Уравнение окружности имеет вид: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a, b) - координаты центра окружности, R - радиус окружности.

Для уравнения $$(x+8)^2 + (y-2)^2 = 36$$:

Центр окружности: (-8, 2)

Радиус окружности: $$\sqrt{36} = 6$$

Для уравнения $$x^2 + (y - 6)^2 = 81$$:

Центр окружности: (0, 6)

Радиус окружности: $$\sqrt{81} = 9$$

Ответ: Для первого уравнения центр (-8, 2), радиус 6. Для второго уравнения центр (0, 6), радиус 9.

б) Напишите уравнение окружности с центром в Е(-2;1) и радиусом √5.

Уравнение окружности имеет вид: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$, где (a, b) - координаты центра окружности, R - радиус окружности.

Подставим координаты центра E(-2;1) и радиус √5:

$$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$$ $$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$$

Ответ: $$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$$

3. Найдите периметр ΔАВС, если А(5;0), B(2;-2), C(5;2)

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

Длина стороны AB:

$$AB = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

Длина стороны BC:

$$BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Длина стороны AC:

$$AC = \sqrt{(5 - 5)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(0)^2 + (2)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$$

Периметр треугольника ABC:

$$P = AB + BC + AC = \sqrt{13} + 5 + 2 = 7 + \sqrt{13}$$

Ответ: $$7 + \sqrt{13}$$

4. Найти координаты точек пересечения двух прямых х+2y=12 и 5х - 2y=8

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$x + 2y + 5x - 2y = 12 + 8$$ $$6x = 20$$ $$x = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$

Подставим значение x в первое уравнение:

$$\frac{10}{3} + 2y = 12$$ $$2y = 12 - \frac{10}{3}$$ $$2y = \frac{36 - 10}{3} = \frac{26}{3}$$ $$y = \frac{26}{3} ∶ 2 = \frac{13}{3}$$

Координаты точки пересечения: ($$\frac{10}{3}$$, $$\frac{13}{3}$$).

Ответ: Координаты точки пересечения: ($$\frac{10}{3}$$, $$\frac{13}{3}$$).

5. Найдите координаты точек пересечения прямой 4х+3y= — 2 с осями координат.

Чтобы найти точку пересечения с осью Ox, нужно положить y = 0:

$$4x + 3(0) = -2$$ $$4x = -2$$ $$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Точка пересечения с осью Ox: (-$$\frac{1}{2}$$, 0).

Чтобы найти точку пересечения с осью Oy, нужно положить x = 0:

$$4(0) + 3y = -2$$ $$3y = -2$$ $$y = -\frac{2}{3}$$

Точка пересечения с осью Oy: (0, -$$\frac{2}{3}$$).

Проверим, принадлежат ли прямой точки М(1; – 2) и Р(1;-5)?

Для точки M(1;-2):

$$4(1) + 3(-2) = 4 - 6 = -2$$

Точка M(1;-2) принадлежит прямой.

Для точки P(1;-5):

$$4(1) + 3(-5) = 4 - 15 = -11 ≠ -2$$

Точка P(1;-5) не принадлежит прямой.

Ответ: Точки пересечения с осями: (-$$\frac{1}{2}$$, 0) и (0, -$$\frac{2}{3}$$). Точка M принадлежит, точка P не принадлежит.

6. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки F (7,5; 8) и Т (15; –7).

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), имеет вид:

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Подставим координаты точек F (7.5; 8) и Т (15; –7):

$$\frac{y - 8}{-7 - 8} = \frac{x - 7.5}{15 - 7.5}$$ $$\frac{y - 8}{-15} = \frac{x - 7.5}{7.5}$$ $$y - 8 = -15 \cdot \frac{x - 7.5}{7.5}$$ $$y - 8 = -2(x - 7.5)$$ $$y - 8 = -2x + 15$$ $$y = -2x + 23$$

Ответ: $$y = -2x + 23$$