Г-8 С.Р. Касательная к окружности. Вариант 1. 1. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. Найдите ОВ, если АВ = 12 см. 2. Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АВ и АС (В и С - точки касания). Найдите АВ и АС, если <ВАС = 60°. 3. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если <АОВ = 120°.

Решение задачи №1

Смотри, тут всё просто: прямая АВ касается окружности в точке А, значит, угол ОАВ прямой (90°). Получается прямоугольный треугольник ОАВ, где ОА - радиус окружности, АВ - данный отрезок, а ОВ - гипотенуза, которую нам нужно найти. Логика такая: используем теорему Пифагора.

По теореме Пифагора:

\[OB^2 = OA^2 + AB^2\]

Подставляем известные значения:

\[OB^2 = 5^2 + 12^2\]

\[OB^2 = 25 + 144\]

\[OB^2 = 169\]

\[OB = \sqrt{169}\]

\[OB = 13\]

Ответ: ОВ = 13 см

Решение задачи №2

Разбираемся: из точки А проведены две касательные АВ и АС к окружности с центром О. Значит, отрезки касательных АВ и АС равны, и углы ВАО и CAO равны половине угла ВАС.

Так как <ВАС = 60°, то <ВАО = <САО = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО (угол АВО = 90°, так как АВ - касательная):

В этом треугольнике:

АО = 8 см (радиус окружности)

<ВАО = 30°

Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Но у нас известен катет, прилежащий к углу 30°.

Используем тангенс угла:

\[tg(30°) = \frac{BO}{AB}\]

\[AB = \frac{BO}{tg(30°)}\]

Тангенс 30° равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), BO = 8 см

\[AB = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}\]

Избавляемся от иррациональности в знаменателе:

\[AB = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\]

Так как АВ = АС, то АС = \(8\sqrt{3}\) см.

Ответ: АВ = АС = \(8\sqrt{3}\) см

Решение задачи №3

Из точки М проведены две касательные АМ и ВМ к окружности с центром О. Значит, отрезки касательных АМ и ВМ равны, и углы АМО и ВМО равны половине угла АОВ.

Так как <АОВ = 120°, то <АМО = <ВМО = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМО (угол МАО = 90°, так как АМ - касательная):

В этом треугольнике:

АО = 8 см (радиус окружности)

<АМО = 60°

Используем тангенс угла:

\[tg(60°) = \frac{AO}{AM}\]

\[AM = \frac{AO}{tg(60°)}\]

Тангенс 60° равен \(\sqrt{3}\), AO = 8 см

\[AM = \frac{8}{\sqrt{3}}\]

Избавляемся от иррациональности в знаменателе:

\[AM = \frac{8 \sqrt{3}}{3}\]

Так как АМ = ВМ, то ВМ = \(\frac{8 \sqrt{3}}{3}\) см.

Теперь найдем АВ. Рассмотрим равнобедренный треугольник АОВ (АО = ВО = радиус):

Угол АОВ = 120°, значит, углы ОАВ и ОВА равны \(\frac{180° - 120°}{2} = 30°\)

Используем теорему синусов:

\[\frac{AB}{sin(120°)} = \frac{AO}{sin(30°)}\]

\[AB = \frac{AO \cdot sin(120°)}{sin(30°)}\]

Синус 120° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), синус 30° равен 0,5, AO = 8 см

\[AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0.5} = \frac{4 \sqrt{3}}{0.5} = 8\sqrt{3}\]

Периметр треугольника АВМ равен:

\[P = AM + BM + AB = \frac{8 \sqrt{3}}{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} + 8\sqrt{3} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} + 8\sqrt{3} = \frac{16 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{3} = \frac{40 \sqrt{3}}{3}\]

Ответ: Периметр треугольника АВМ = \(\frac{40 \sqrt{3}}{3}\) см