г) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Проведем из вершины C высоту CH и медиану CM. Угол между высотой и медианой равен 18°, то есть ∠HCM = 18°. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, AM = MB = CM. Значит, треугольник CMB равнобедренный, и углы при основании равны: ∠MCB = ∠MBC. Пусть ∠MCB = x. Тогда ∠MBC = x. Так как CH - высота, то ∠HCA = 90° - ∠A, а ∠HCB = 90° - ∠B. Учитывая, что ∠HCM = 18°, получаем: ∠MCB = ∠HCM + ∠HCB x = 18° + 90° - ∠B ∠B = 108° - x Также, сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180° ∠A + (108° - x) + 90° = 180° ∠A - x = -18° ∠A = x - 18° Так как ∠MCB = ∠MBC = x, то ∠B = x Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°: ∠A + ∠B = 90° (x - 18°) + x = 90° 2x = 108° x = 54° Тогда ∠B = 54°, а ∠A = 54° - 18° = 36°. Меньший из двух острых углов треугольника равен 36°.