г) Вычислить интеграл $\int_1^2 \frac{x^3-64}{x^2+4x+16}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: г) Вычислить интеграл $\int_1^2 \frac{x^3-64}{x^2+4x+16}\,dx$.$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулу разности кубов:

\[x^3-64=x^3-4^3=(x-4)(x^2+4x+16).\]

Поэтому дробь сокращается:

\[\frac{x^3-64}{x^2+4x+16}=x-4.\]

Тогда

\[\int_1^2\frac{x^3-64}{x^2+4x+16}\,dx=\int_1^2(x-4)\,dx.\]

\[\int_1^2(x-4)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-4x\right)\Big|_1^2=(-6)-\left(-\frac72\right)=-\frac52.\]

Ответ: $-\frac{5}{2}$.

г) Вычислить интеграл \(\int_1^2 \frac{x^3-64}{x^2+4x+16}\,dx\).