Галина гуляет по парку. Схема дорожек парка показана на рисунке. Она выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом она окажется около пруда или около фонтана. Результат округлите до тысячных и запишите в виде конечной десятичной дроби.

Question

Вопрос:

Фото задания: Галина гуляет по парку. Схема дорожек парка показана на рисунке. Она выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с…

Галина гуляет по парку. Схема дорожек парка показана на рисунке. Она выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом она окажется около пруда или около фонтана. Результат округлите до тысячных и запишите в виде конечной десятичной дроби.

Accepted Answer

Решение:

Задача предполагает расчёт вероятности нахождения Галины у пруда или фонтана, исходя из схемы парка и условий случайного выбора дорожки на каждой развилке.

Из точки S есть 3 варианта пути.
Каждый выбор на развилке имеет вероятность \( \frac{1}{2} \) , так как шансы равны.

Расчёт вероятности:

Рассмотрим пути, ведущие к пруду:

S → (средняя ветка) → Пруд: вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
S → (нижняя ветка) → Пруд: вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

Рассмотрим пути, ведущие к фонтану:

S → (средняя ветка) → Фонтан: вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
S → (нижняя ветка) → Фонтан: вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

Общая вероятность оказаться у пруда или фонтана — это сумма вероятностей всех этих путей, так как они не пересекаются:

\( P(\text{пруд или фонтан}) = P(\text{S → средняя → Пруд}) + P(\text{S → нижняя → Пруд}) + P(\text{S → средняя → Фонтан}) + P(\text{S → нижняя → Фонтан}) \)

\( P(\text{пруд или фонтан}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 \)

Однако, схема показывает, что есть несколько развилок, и нужно внимательно проследить все пути:

Из точки S:

Путь 1 (верхний): S → развилка 1 → Усадьба (вероятность \( \frac{1}{2} \) )
Путь 2 (средний): S → развилка 1 → развилка 2 → Детская площадка (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \))
Путь 3 (средний): S → развилка 1 → развилка 2 → Кафе (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \))
Путь 4 (нижний): S → развилка 3 → Пруд (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \))
Путь 5 (нижний): S → развилка 3 → Фонтан (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \))

Проверим, сумма всех вероятностей не равна 1, значит, нужно пересмотреть схему ветвления.

Пересмотр схемы:

Из точки S есть 3 пути.

1. Путь к Усадьбе: S → ветка 1 → Усадьба. Вероятность \( \frac{1}{2} \).

2. Путь к Детской площадке/Кафе: S → ветка 2 → развилка → Детская площадка (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)) или → Кафе (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)).

3. Путь к Пруду/Фонтану: S → ветка 3 → развилка → Пруд (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)) или → Фонтан (вероятность \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)).

Сумма вероятностей: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} \) — неверно.

Правильное понимание схемы:

Из точки S есть 3 равновероятных пути (каждый с вероятностью \( \frac{1}{3} \)).

Если выбран верхний путь (вероятность \( \frac{1}{3} \)), Галина оказывается у Усадьбы.
Если выбран средний путь (вероятность \( \frac{1}{3} \)), Галина попадает на развилку, где снова выбирает один из двух путей с равной вероятностью (\( \frac{1}{2} \)).
Если выбран нижний путь (вероятность \( \frac{1}{3} \)), Галина попадает на другую развилку, где также выбирает один из двух путей с равной вероятностью (\( \frac{1}{2} \)).

Расчёт вероятности для Пруда или Фонтана:

Для того, чтобы оказаться у Пруда или Фонтана, нужно выбрать нижний путь из точки S (вероятность \( \frac{1}{3} \)), а затем на развилке выбрать путь к Пруду (вероятность \( \frac{1}{2} \)) или к Фонтану (вероятность \( \frac{1}{2} \)).

Вероятность оказаться у Пруда: \( P(\text{Пруд}) = P(\text{нижний путь}) \times P(\text{выбор к Пруду}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \)
Вероятность оказаться у Фонтана: \( P(\text{Фонтан}) = P(\text{нижний путь}) \times P(\text{выбор к Фонтану}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \)

Вероятность оказаться у Пруда ИЛИ у Фонтана равна сумме этих вероятностей:

\( P(\text{Пруд или Фонтан}) = P(\text{Пруд}) + P(\text{Фонтан}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Теперь переведём эту дробь в десятичную и округлим до тысячных:

\( \frac{1}{3} \approx 0.33333... \)

Округляем до тысячных: 0.333.

Проверка:

Вероятность попасть в Усадьбу: \( P(\text{Усадьба}) = \frac{1}{3} \).

Вероятность попасть в Детскую площадку: \( P(\text{Детская площадка}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).

Вероятность попасть в Кафе: \( P(\text{Кафе}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).

Сумма всех вероятностей: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \). Верно.

Ответ: 0.333