ГБОУ Школа № 2025 2025 г. Контрольная работа по теме «Треугольник», 7 класс Вариант 2 Инструкция по выполнению работы Работа содержит задания, на выполнение которых отводится 40 минут (один урок). Все необходимые вычисления и преобразования производятся в тетради для контрольных работ. За правильно выполненные преобразования и полученный верный ответ в заданиях 1-3 ставится - 1 балл. Баллы, полученные за все выполненные задания, суммируются. Задание 4 оценивается в соответствии с критериями. Задания можно выполнять в любом порядке. Начать советуем с тех заданий, которые вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно больше баллов. Для получения удовлетворительной отметки необходимо набрать 3 первичных балла. Желаем успеха! 1. Укажите номера верных утверждений. 1) В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. 2) Любой треугольник имеет хотя бы один тупой угол. 3) Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого, то треугольники равны. C 2. Докажите, что если на рисунке ∠C и ∠D прямые и MD = KC, το AMCK = AMDK. 3. В треугольнике АВС угол А в 2 раза больше угла В, а угол С на 30° меньше угла А. Найдите углы треугольника. M D K 4. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны ВС. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. В ответе укажите число. A B C

Задание 1

Укажите номера верных утверждений:

• 1) В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
• 2) Любой треугольник имеет хотя бы один тупой угол.
• 3) Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого, то треугольники равны.

Разбираемся:

• Утверждение 1 верно, так как в прямоугольном треугольнике один угол 90°, а сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно, сумма двух других углов равна 180° - 90° = 90°.
• Утверждение 2 неверно, так как в остроугольном треугольнике все углы острые.
• Утверждение 3 верно, так как по двум катетам прямоугольные треугольники равны.

Ответ: 1 и 3

Задание 2

Докажите, что если на рисунке ∠C и ∠D прямые и MD = KC, то ΔMCK = ΔDMK.

Доказательство:

• Рассмотрим треугольники ΔMCK и ΔDMK.
• MC и DK – это параллельные прямые.
• MD = KC (по условию).
• Углы ∠C и ∠D прямые (по условию).
• MK – общая сторона.
• Следовательно, ΔMCK = ΔDMDK по двум катетам.

Задание 3

В треугольнике АВС угол А в 2 раза больше угла В, а угол С на 30° меньше угла А. Найдите углы треугольника.

Решение:

Пусть угол В равен x, тогда угол А равен 2x, а угол С равен 2x - 30°. Сумма углов треугольника равна 180°.

Составим уравнение:

\[x + 2x + (2x - 30) = 180\]

\[5x - 30 = 180\]

\[5x = 210\]

\[x = 42\]

Следовательно, угол В равен 42°, угол А равен 2 ⋅ 42° = 84°, а угол С равен 84° - 30° = 54°.

Ответ: ∠A = 84°, ∠B = 42°, ∠C = 54°

Задание 4

В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠DBC = 30°, DA = 4 см. Найти AC и расстояние от точки D до стороны BC.

Решение:

• ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.
• ΔABD: ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 60° - 30° = 30°.
• ΔDBC: ∠DBC = ∠DCB = 30°, значит, ΔDBC равнобедренный, и DB = DC.
• ΔABD: ∠ABD = ∠BAD = 30°, значит, ΔABD равнобедренный, и AD = BD = 4 см.
• Следовательно, DC = BD = 4 см.
• AC = AD + DC = 4 + 4 = 8 см.
• В прямоугольном треугольнике ABC катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
• Тогда AB = 1/2 BC, sin 60° = AC/BC, BC = AC / sin 60° = 8 / (√3/2) = 16/√3 = (16√3)/3.
• AB = (16√3)/6 = (8√3)/3.
• Расстояние от точки D до стороны BC - это высота DH треугольника DBC.
• DH = BD ⋅ sin 30° = 4 ⋅ 1/2 = 2 см.

Ответ: АС = 8 см, расстояние от точки D до стороны BC равно 2 см.

Задание 5

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. В ответе укажите число.

Решение:

По графическому изображению определяем, что расстояние от точки А до прямой ВС равно 2 клеткам.

Ответ: 2