где с > 0 – нормировочная константа. Здесь 1{x≥0} – индикатор: он равен 1 при х ≥ 0 и 0 иначе. Также пусть n ∈ N, а Х1,..., Хп – независимые случайные величины, имеющие такое же распределение, как Х. Выберите все верные утверждения. Выберите все подходящие ответы из списка

Решение:

Для решения данного задания необходимо проанализировать каждое утверждение, исходя из определения функции плотности вероятности (PDF) \( f_X(x) = \frac{c}{(1+x)^3} 1{\{x\ge 0\}} \).

Анализ утверждений:

• Случайная величина U = \(\frac{1}{1+X}\) имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1].
  Это утверждение неверно. Преобразование \( X \) в \( U \) не приводит к равномерному распределению.
• Второй момент \(X\) бесконечен: \(EX^2 = \infty\).
  Это утверждение верно. Интеграл \( \int_0^\infty x^2 \frac{c}{(1+x)^3} dx \) расходится, так как степень \( x \) в числителе (2) больше, чем степень \( x \) в знаменателе (3) при \( x \to \infty \), с учетом показателя степени дроби.
• Медиана распределения \(X\) равна \(\sqrt{2} - 1\).
  Это утверждение неверно. Медиана \( m \) определяется условием \( P(X \le m) = 0.5 \).
• Для любого \( t \ge 0 \) выполнено \( P(X > t) = \frac{1}{(1+t)^3} \).
  Это утверждение неверно. Вероятно, имеется в виду \( P(X > t) = \frac{c}{(1+t)^2} \) при правильной нормировке \( c \).
• Случайная величина \(X\) обладает свойством отсутствия памяти, то есть для любых \( s, t \ge 0 \) \( P(X > s + t | X > s) = P(X > t) \).
  Это утверждение неверно. Свойство отсутствия памяти характерно для экспоненциального распределения, а данное распределение не является экспоненциальным.
• Если \( M_n = \min(X_1,..., X_n) \), то \( EM_n = \frac{1}{2n} \).
  Это утверждение неверно. Для данного распределения \( EM_n \) не равно \( \frac{1}{2n} \).
• Математическое ожидание \(X\) конечно и равно 1.
  Это утверждение неверно. \( EX \) расходится, так как \( \int_0^\infty x \frac{c}{(1+x)^3} dx \) расходится.
• Дисперсия \(X\) конечна и равна 1.
  Это утверждение неверно. Так как \( EX^2 = \infty \), дисперсия также будет бесконечной.
• Случайная величина \( Y = \ln(1+X) \) имеет экспоненциальное распределение с параметром интенсивности 2.
  Это утверждение неверно. Преобразование \( Y = \ln(1+X) \) не приводит к экспоненциальному распределению.
• Для любого \( x \ge 0 \) функция распределения \(X\) имеет вид \( F_X(x) = 1 - \frac{1}{(1+x)^2} \).
  Это утверждение верно, при условии, что \( c = 2 \) для нормировки. \( F_X(x) = \int_0^x \frac{2}{(1+t)^3} dt = 2 \left[ \frac{(1+t)^{-2}}{-2} \right]_0^x = -[(1+x)^{-2} - 1] = 1 - (1+x)^{-2} = 1 - \frac{1}{(1+x)^2} \).
• Случайная величина \( Z = \frac{1}{(1+X)^2} \) имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1].
  Это утверждение неверно. Преобразование \( Z \) не приводит к равномерному распределению.
• Нормировочная константа \( c \) равна 2.
  Это утверждение верно. Чтобы \( \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1 \), мы должны иметь \( \int_0^\infty \frac{c}{(1+x)^3} dx = 1 \). \( c \int_0^\infty (1+x)^{-3} dx = c \left[ \frac{(1+x)^{-2}}{-2} \right]_0^\infty = c \left( 0 - \frac{1}{-2} \right) = \frac{c}{2} = 1 \). Следовательно, \( c = 2 \).
• Если \( M_n = \min(X_1,..., X_n) \), то для любого \( t \ge 0 \) \( P(M_n > t) = \frac{1}{(1+t)^{2n}} \).
  Это утверждение верно. Так как \( P(X > t) = 1 - F_X(t) = 1 - (1 - \frac{1}{(1+t)^2}) = \frac{1}{(1+t)^2} \), то \( P(M_n > t) = P(X_1 > t, ..., X_n > t) = \prod_{i=1}^n P(X_i > t) = (P(X > t))^n = (\frac{1}{(1+t)^2})^n = \frac{1}{(1+t)^{2n}} \).

Ответ: Второй момент \(X\) бесконечен: \(EX^2 = \infty\). Для любого \( x \ge 0 \) функция распределения \(X\) имеет вид \( F_X(x) = 1 - \frac{1}{(1+x)^2} \). Нормировочная константа \( c \) равна 2. Если \( M_n = \min(X_1,..., X_n) \), то для любого \( t \ge 0 \) \( P(M_n > t) = \frac{1}{(1+t)^{2n}} \).