ГЕМЕ УРОКА 6. C Ο A B D Доказать: О - середина отрезка AB.

Задача: Геометрия

Дано:

• Окружность с центром O.


• Точки A, B, C, D на окружности.


• Отрезки AB и CD пересекаются в точке O.


• AD перпендикулярен AB (угол DAB = 90°).


• BC перпендикулярен AB (угол ABC = 90°).


• O - середина отрезка AB.

Доказать: O - середина отрезка CD.

Решение:

Для доказательства будем использовать свойства прямоугольных треугольников и равенство треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle ADO$$ и $$\triangle BCO$$




• Угол $$\angle DAO = \angle CBO = 90^{\circ}$$ (дано, что AD и BC перпендикулярны AB).


• Сторона AO = BO (дано, что O - середина отрезка AB).


• Углы $$\angle AOD$$ и $$\angle BOC$$ равны как вертикальные углы при пересечении прямых AB и CD.





По двум углам и прилежащей к ним стороне (признак равенства треугольников), треугольники $$\triangle ADO$$ и $$\triangle BCO$$ равны.




2. Из равенства треугольников $$\triangle ADO = \triangle BCO$$ следует равенство их соответствующих сторон:




• $$DO = CO$$


• $$AD = BC$$





Так как $$DO = CO$$, то точка O является серединой отрезка CD.

Что и требовалось доказать.