Генить неравенства методом интервалов. 1) (x-2)(x-3)70 2) (3x+9) (14-x) ≤0 3) x²-5x+6 >0. 4) X-(4-x) (8x-9)≤0 5) x229 :) 25x² > 49 =) 10x-x²≤0

Решить неравенства методом интервалов.

1. (x-2)(x-3) > 0

   Решение:

   Найдем нули функции:

   $$x-2=0$$

   $$x=2$$

   $$x-3=0$$

   $$x=3$$

   Отметим точки 2 и 3 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

       +     -     +
   ----(2)----(3)----
       

   Выбираем интервалы, где функция больше нуля.

   Ответ: $$(-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$$.

2. (3x+9)(14-x) ≤ 0

   Решение:

   Найдем нули функции:

   $$3x+9=0$$

   $$3x=-9$$

   $$x=-3$$

   $$14-x=0$$

   $$x=14$$

   Отметим точки -3 и 14 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

       -     +     -
   ----(-3)----(14)----
       

   Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю.

   Ответ: $$(-\infty; -3] \cup [14; +\infty)$$.

3. $$x^2 - 5x + 6 > 0$$

   Решение:

   Найдем корни квадратного уравнения:

   $$x^2 - 5x + 6 = 0$$

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

   $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

   $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

   Отметим точки 2 и 3 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

       +     -     +
   ----(2)----(3)----
       

   Выбираем интервалы, где функция больше нуля.

   Ответ: $$(-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$$.

4. $$x \cdot (4-x) \cdot (8x-9) \le 0$$

   Решение:

   Найдем нули функции:

   $$x=0$$

   $$4-x=0$$

   $$x=4$$

   $$8x-9=0$$

   $$8x=9$$

   $$x=\frac{9}{8} = 1.125$$

   Отметим точки 0, 1.125 и 4 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

       -     +     -     +
   ----(0)----(1.125)----(4)----
       

   Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю.

   Ответ: $$(-\infty; 0] \cup [1.125; 4]$$.

5. $$x^2 < 9$$

   Решение:

   $$x^2 - 9 < 0$$

   Разложим на множители:

   $$(x-3)(x+3) < 0$$

   Найдем нули функции:

   $$x-3=0$$

   $$x=3$$

   $$x+3=0$$

   $$x=-3$$

   Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

       +     -     +
   ----(-3)----(3)----
       

   Выбираем интервалы, где функция меньше нуля.

   Ответ: $$(-3; 3)$$.

6. $$25x^2 > 49$$

   Решение:

   $$25x^2 - 49 > 0$$

   $$(5x - 7)(5x + 7) > 0$$

   Найдем нули функции:

   $$5x - 7 = 0$$

   $$5x = 7$$

   $$x = \frac{7}{5} = 1.4$$

   $$5x + 7 = 0$$

   $$5x = -7$$

   $$x = -\frac{7}{5} = -1.4$$

   Отметим точки -1.4 и 1.4 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

       +     -     +
   ----(-1.4)----(1.4)----
       

   Выбираем интервалы, где функция больше нуля.

   Ответ: $$(-\infty; -1.4) \cup (1.4; +\infty)$$.

7. $$10x - x^2 \le 0$$

   Решение:

   $$x(10 - x) \le 0$$

   Найдем нули функции:

   $$x = 0$$

   $$10 - x = 0$$

   $$x = 10$$

   Отметим точки 0 и 10 на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

       -     +     -
   ----(0)----(10)----
       

   Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю.

   Ответ: $$(-\infty; 0] \cup [10; +\infty)$$.